Question

【題目】（本小題滿分14分）已知過原點的動直線與圓 相交于不同的兩點，．

（1）求圓的圓心坐標；

（2）求線段的中點的軌跡的方程；

（3）是否存在實數，使得直線 與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．

【解析】

試題（1）通過將圓的一般式方程化為標準方程即得結論；（2）設當直線的方程為y=kx，通過聯立直線與圓的方程，利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數方程與普通方程的相互轉化，計算即得結論；（3）通過聯立直線與圓的方程，利用根的判別式△=0及軌跡的端點與點（4，0）決定的直線斜率，即得結論

試題解析：（1）由得，

∴ 圓的圓心坐標為；

（2）設，則

∵ 點為弦中點即，

∴即，

∴ 線段的中點的軌跡的方程為；

（3）由（2）知點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點），且，，又直線：過定點，

當直線與圓相切時，由得，又，結合上圖可知當時，直線：與曲線只有一個交點．