Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y²=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求向量乘積

PF1

•

PF2

的取值范圍；
（2）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且∠MON為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
（3）設A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設知a=2，b=1，c=

3

，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3=

1

4

(3x2-8)．由此能夠求出向量乘積

PF1

•

PF2

的取值范圍．
（2）設直線l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=kx-2 x2 4 +y2=1

，得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，由韋達定理和根的判別式知：k＜

3

2

或k＞-

3

2

，又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?

OM

•

ON

＞0，由此能求出直線l的斜率k的取值范圍．
（3）由題設|BO|=1，|AO|=2．設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=

(x2+2y2)2

，由此能求出S的最大值．

解答：解：（1）根據題意易知a=2，b=1，c=

3

，所以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

-3
=

1

4

(3x2-8)．
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1．
（2）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線l：y=kx+2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

3

k2+ 1 4

，
由△=(4k)2-4(k+

1

4

)×3=4k2-3＞0，
得：k＜-

3

2

或k＞

3

2

，
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?

OM

•

ON

＞0，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4
=

-k2+1

k2+ 1 4

．
∵

3

k2+ 1 4

+

-k2+1

k2+ 1 4

＞0，
即k²＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得-2＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜2．
（3）由題設，|BO|=1，|AO|=2．
設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=

(x2+2y2)2

=

x22+4y2 2+4x2y2

≤

2(x22+4y22)

=2

2

，
當x₂=2y₂時，上式取等號．所以S的最大值為2

2

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．