Question

【題目】已知函數

（1）若函數在處取得極值1，證明：

（2）若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）求出函數的導函數，由在處取得極值1，可得且.解出，構造函數，分析其單調性，結合，即可得到的范圍，命題得證；
（2）由分離參數，得到恒成立，構造函數，求導函數，再構造函數，進行二次求導.由知，則在上單調遞增.根據零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調遞減，時，單調遞增，則，即.由得，再次構造函數，求導分析單調性，從而得，即，最終求得，則.

解：（1）由題知，

∵函數在，處取得極值1，

，且，

，

，

令，則

為增函數，

，即成立.

（2）不等式恒成立，

即不等式恒成立，即恒成立，

令，則

令，則,

，，

在上單調遞增，且，

有唯一零點，且，

當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增.

，

由整理得

，

令，則方程等價于

而在上恒大于零，

在上單調遞增，

.

，

∴實數的取值范圍為.