Question

（本小題滿分16分）已知F₁（－c,0）, F₂（c,0） (c＞0)是橢圓的兩個焦點，O為坐標原點，圓M的方程是．
（1）若P是圓M上的任意一點，求證：是定值；
（2）若橢圓經過圓上一點Q，且cos∠F₁QF₂=，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=，求橢圓的方程．

Answer 1

(1) 3  (Ⅱ)（3）

（1）證明：設P（x,y）是圓上的任意一點，
= =3∴="3   " -5分
（2）解：在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圓上，設|QF₂|=x，則|QF₁|=3x，橢圓半長軸長為2x，
4c²=x²＋9x²－6x²×，5c²=8x²，e²=，e=．----------10分
（3）由（2）知，x=，即|QF₂|=，則|QF₁|=3

，由于|OQ|=，∴c=2，進一步由e= =得到a²=10，b²=6，所求橢圓方程是．           ------------16分
點評：本題考查橢圓的性質、定義、圓的有關性質及其運算，解三角形，較難題