Question

【題目】如題（19）圖，三棱錐中，平面，，分別為線段上的點，且

（1）證明：平面.
（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】
（1）

見解答

（2）

【解析】1.證明：由平面,平面,故
由得為等腰直角三角形，故
由,垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，故平面.
2.
由1知，為等腰直角三角形，,如（19）圖，過點作垂直于，易知又已知,故
由得,故
以為坐標原點，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則
設(shè)平面的法向量
由
得故可取
由（1）可知平面,故平面的法向量可取為,即
從而法向量的夾角的余弦值為
故所求二面角的余弦值為。

【考點精析】掌握向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系是解答本題的根本，需要知道要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個相交向量分別為，若．