Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為，且過點M。

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

（1）（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）用橢圓的定義可求，根據焦距和可求；也可將點代入設出的橢圓方程解方程組求。（2）用點差法求直線的斜率，設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為，直線與橢圓的焦點即為所求點。

試題解析：（1）（方法一）依題意，設橢圓方程為， 1分

則， 2分

因為橢圓兩個焦點為，所以

=4 4分

5分

橢圓的方程為 6分

（方法二）依題意，設橢圓方程為， 1分

則，即，解之得 5分

橢圓C的方程為 6分

（2）如圖

（方法一）設兩點的坐標分別為，

則 7分

① ②

①-②，得,

9分

設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為

聯立方程組，消去整理得

由判別式得 12分

由圖知，當時，與橢圓的切點為，此時

的面積最大

所以點的坐標為 14分

（方法二）設直線的方程為，聯立方程組，

消去整理得

設兩點的坐標分別為，則

所以直線AB的方程為，即 9分（以下同法一）

考點：1橢圓方程；2點差法解決中點弦問題；3數形結合。