Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為的直線(xiàn)與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，直線(xiàn)的方程為.

【解析】試題分析：（1）由三角形的面積，即可求得c=2,將點(diǎn)代入橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；

（2）直線(xiàn)的方程為，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由弦長(zhǎng)公式可得．將代入橢圓方程，得，得．可得．可得所求結(jié)論.

試題解析：（1）由的面積可得，即，∴．①

又橢圓過(guò)點(diǎn)，∴．②

由①②解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

由弦長(zhǎng)公式可得．

將代入橢圓方程，得，

由判別式，解得．

由直線(xiàn)和圓相交的條件可得，即，也即，

綜上可得的取值范圍是．

設(shè)，，則，，

由弦長(zhǎng)公式，得．

由，得．

∵，∴，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線(xiàn)的方程為．

點(diǎn)睛:本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線(xiàn)的方程是一次的，圓錐曲線(xiàn)的方程是二次的，故直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．