Question

【題目】已知函數，若函數有兩個零點，.

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：當時，；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.

【解析】分析：

詳解：（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，結合函數的單調性以及函數零點的個數確定的范圍即可；
（2）求出函數的導數，求出，結合函數的單調性求出是函數的極大值點，也是最大值點，從而證明結論．

（3）證明：由題意得是兩根，∴①，②，

可得，要證明，只需證，即

令，所以只需證在成立即可，設，利用導數研究其性質，可證成立.

設，

所以在是增函數，∴

即成立.

（1），定義域為，

當時，，∴在遞增，不可能有兩個零點，

當時，時，，時，

所以是函數的極大值點，也是最大值點

又因為時，，時，，

要使有兩個零點，只需，

∴

（2）在是減函數，∵，

∴存在唯一的，使，即，所以，

即

當時，，當時，，

∴是函數的極大值點，也是最大值點

∴

在上，∵，∴

∴，即成立

（3）證明：由題意得是兩根，∴①，②，

①②得，，得，

要證明，只需證，即證

所以只需證，即

令，所以只需證在成立即可

設，

所以在是增函數，∴

即成立.