Question

設數列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足：b_n＝a_n－a_n＋2，c_n＝a_n＋2a_n＋1＋3a_n＋2(n＝1，2，3，…)，求證：{a_n}為等差數列的充分必要條件是{c_n}為等差數列且b_n≤b_n＋1(n＝1，2，3，…)．

Answer 1

見解析

必要性：
設{a_n}是公差為d₁的等差數列，則
b_n＋1－b_n＝(a_n＋1－a_n＋3)－(a_n－a_n＋2)
＝(a_n＋1－a_n)－(a_n＋3－a_n＋2)＝d₁－d₁＝0，
所以b_n≤b_n＋1(n＝1，2，3，…)成立．
又c_n＋1－c_n＝(a_n＋1－a_n)＋2(a_n＋2－a_n＋1)＋3(a_n＋3－a_n＋2)＝d₁＋2d₁＋3d₁＝6d₁(常數)(n＝1，2，3，…)，
所以數列{c_n}為等差數列．
充分性：
設數列{c_n}是公差為d₂的等差數列，且b_n≤b_n＋1(n＝1，2，3，…)．
∵c_n＝a_n＋2a_n＋1＋3a_n＋2，①
∴c_n＋2＝a_n＋2＋2a_n＋3＋3a_n＋4，②
①－②，得c_n－c_n＋2＝(a_n－a_n＋2)＋2(a_n＋1－a_n＋3)＋3(a_n＋2－a_n＋4)＝b_n＋2b_n＋1＋3b_n＋2.
∵c_n－c_n＋2＝(c_n－c_n＋1)＋(c_n＋1－c_n＋2)＝－2d₂，
∴b_n＋2b_n＋1＋3b_n＋2＝－2d₂，③
從而有b_n＋1＋2b_n＋2＋3b_n＋3＝－2d₂，④
④－③，得(b_n＋1－b_n)＋2(b_n＋2－b_n＋1)＋3(b_n＋3－b_n＋2)＝0.⑤
∵b_n＋1－b_n≥0，b_n＋2－b_n＋1≥0，b_n＋3－b_n＋2≥0，
∴由⑤得b_n＋1－b_n＝0(n＝1，2，3，…)．
由此不妨設b_n＝d₃(n＝1，2，3，…)，則a_n－a_n＋2＝d₃(常數)．
由此c_n＝a_n＋2a_n＋1＋3a_n＋2?c_n＝4a_n＋2a_n＋1－3d₃，
從而c_n＋1＝4a_n＋1＋2a_n＋2－5d₃，
兩式相減得c_n＋1－c_n＝2(a_n＋1－a_n)－2d₃，
因此a_n＋1－a_n＝(c_n＋1－c_n)＋d₃＝d₂＋d₃(常數)(n＝1，2，3，…)，
∴數列{a_n}為等差數列．