Question

【題目】已知,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式;

(2)對(duì)于任意(其中,,均為正整數(shù)),若和的所有乘積的和記為,試求的值;

(3)設(shè),,若數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在這樣的實(shí)數(shù),使得對(duì)于所有的都有成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析,;(2)1;(3)存在,.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí),通過與作差，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論（2）通過（1）可得Tn的表達(dá)式，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論（3）通過（1）可知數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式，利用并項(xiàng)相加、分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

(1)∵,

∴當(dāng)時(shí),,

兩式相減,整理得:,

又∵,即,

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列,

∴;

(2)∵

,

∴;

(3)結(jié)論:存在這樣的實(shí)數(shù),使得對(duì)于所有的都有成立.

理由如下:

由(1)可知,,即,,

故,,

特別地,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有為奇數(shù),

此時(shí),

①若為偶數(shù),則

,

由可知對(duì)所有正偶數(shù)都成立,故;

②若為奇數(shù),則,

由①可知,

由可知對(duì)所有正奇數(shù)都成立,故;

由①②可得實(shí)數(shù)的取值范圍是:,

所以存在這樣的實(shí)數(shù),使得對(duì)于所有的都有成立.