Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，都有（）成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；（2）兩個(gè)；（3）0.

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù)，由，，利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果；（3）當(dāng)，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，從而可得結(jié)果.

（1），

.

當(dāng)時(shí)，在恒成立，

在是單減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，令，解之得.

從而，當(dāng)變化時(shí)，，隨的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

由上表中可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù)；

又，，.

，；

故在有兩個(gè)零點(diǎn).

（3）當(dāng)，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立

.

令，只需；

又，

由（2）知，在有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

在上單減，在上單增；

又，，

，且，

即代入式，得

.

而在為增函數(shù)，，

即.

而，，

即所求的最大值為0.