Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0）令f(k)=

a

•

b

（1）求f(k)=

a

•

b

（用k表示）；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，f(k)≥x2-2tx-

1

2

對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用|

a

|=|

b

|=1，結(jié)合|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|兩邊平方整理即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng) k＞0時(shí)，先根據(jù)基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求問題轉(zhuǎn)化為g（t）=-2xt+x²-1＜0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，最后結(jié)合一次函數(shù)的知識(shí)即可得到實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（1）由|

a

|=|

b

|=1，|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|k2

a

2+b2+2k

a

•

b

=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)
整理得

a

•

b

=

k2+1

4k

∴f（k）=

k2+1

4k

（k＞0）…（4分）
（2）當(dāng) k＞0時(shí)f（k）=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

（當(dāng)且當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立）…（6分）
∴當(dāng) k＞0時(shí)f（k）≥x2-2tx-

1

2

對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立
即

1

2

≥x2-2tx-

1

2

亦即x²-2tx-1≤1對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立…（8分）
而x²-2tx-1=-2xt+x²-1=g（t）
∴g（t）=-2xt+x²-1＜0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函數(shù)的性質(zhì)可得

g(-1)=2x+x2-1≤0→-1- 2 ≤x≤-1+ 2 g(1)=-2x+x2-1≤0→1- 2 ≤x≤1+ 2

…（10分）
∴1-

2

≤x≤

2

-1
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為[1-

2

，

2

-1]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，以及恒成立問題和基本不等式的運(yùn)用．是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．