Question

（2012•浙江模擬）已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=2|

b

|≠0，且關于x的函數f（x）=2x³+3|

a

|x²+6

a

•

b

x+5 在實數集R上單調遞增，則向量

a

，

b

的夾角的取值范圍是（　　）

• A．[0.

  π

  6

  ]
• B．[0，

  π

  3

  ]
• C．（0，

  π

  3

  ]
• D．[

  π

  3

  ，π]

Answer 1

分析：求導數，利用函數f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+5 在實數集R上單調遞增，可得判別式小于等于0在R上恒成立，再利用|

a

|=2|

b

|≠0，利用向量的數量積，即可得到結論．

解答：解：求導數可得f′（x）=6x²+6|

a

|x+6

a

•

b

，則由函數f（x）=2x³+3|a|x²+6a•bx+5 在實數集R上單調遞增，
可得f′（x）=6x²+6|

a

|x+6

a

•

b

≥0恒成立，即 x²+|

a

|x+

a

•

b

≥0恒成立，故判別式△=

a

2-4

a

•

b

≤0 恒成立，
再由|

a

|=2|

b

|≠0，可得 4 |

b

|2≤8|

b

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞∈[0，

π

3

]，
故選B．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查向量的數量積，解題的關鍵是利用判別式小于等于0在R上恒成立，屬于中檔題．