Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=

3

|

a

-

b

|，|

a

|=|

b

|=1，則|

3a

-2

b

|的值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)|

a

+

b

|=

3

|

a

-

b

|，兩邊平方去掉模，然后根據(jù)|

a

|=|

b

|=1，得出向量的數(shù)量積，最后根據(jù)夾角公式求解．利用向量的模的平方等于向量的平方將已知等式平方求出兩個向量的數(shù)量積；再將待求的模平方求出值．

解答：解：由已知，（

a

+

b

）²=3（

a

-

b

）²，即

a

²+2

a

•

b

+

b

²=3（

a

²-2

a

•

b

+

b

²）．
因?yàn)閨

a

|=|

b

|=1，則

a

²=

b

²=1，
所以2+2

a

•

b

=3（2-2

a

•

b

），
即

a

•

b

=

1

2

．
設(shè)向量

a

與

b

的夾角為θ，
則|

a

|•|

b

|cosθ=

1

2

，
即cosθ=

1

2

，
故θ=60°．
∴|3

a

+

b

|2=9

a

2+6

a

•

b

+

b

2=7
∵|3

a

-2

b

|=

7

故答案為

7

點(diǎn)評：本題考查了向量夾角的求法，為基礎(chǔ)題，本題考查向量模的性質(zhì)：模的平方等于向量的平方；利用此性質(zhì)解決與向量的模有關(guān)的問題．