Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)橢圓：右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2），為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對(duì)角線(xiàn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合離心率可得，求出后可得橢圓的方程.

（2）聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程后可求的坐標(biāo)，從而可求.設(shè)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程，消去后利用弦長(zhǎng)公式可得，從而可得，結(jié)合的范圍可求面積的最大值.

解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，則.

離心率，則.

故，所以的方程為.

（Ⅱ）由，解得或，因此.

設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，.

由得.

，故.

又的交點(diǎn)在之間，故.

因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率為1，

所以.

又四邊形的面積，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以四邊形面積的最大值為.