Question

【題目】如圖，在幾何體中，四邊形是菱形，，平面平面，.

（1）求證：；

（2）若，，求三棱錐和三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1,1

【解析】

（1）連接，與交于點，連接易知，，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可證明；

（2）由面面垂直的性質可知，平面，即 為三棱錐的高，結合菱形、等邊三角形的性質，可求出，從而可求三棱錐的體積；由平面，可知點到平面的距離也為，由菱形的性質可知，從而可求出三棱錐的體積.

（1）證明:如圖，連接，與交于點，則為的中點，連接，

由四邊形是菱形可得，因為，所以，

因為，所以平面，因為平面，所以.

（2）因為平面平面，平面平面，且，

所以平面，即 為三棱錐的高.

由，四邊形是菱形，且，

可得與都是邊長為2的等邊三角形，所以，

因為的面積，故.

因為， 平面， 平面，所以平面，

故點到平面的距離也為，由四邊形是菱形得

因此.