Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變為原來的倍得到曲線（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得，進而可化簡得出曲線的直角坐標方程；

（2）根據變換得出的普通方程為，可設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合正弦函數的有界性可得出結果.

（1）由（為參數），得，化簡得，

故直線的普通方程為.

由，得，又，，.

所以的直角坐標方程為；

（2）由（1）得曲線的直角坐標方程為，向下平移個單位得到，

縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍得到曲線的方程為，

所以曲線的參數方程為（為參數）.

故點到直線的距離為，

當時，最小為.