Question

【題目】若函數滿足：對任意實數以及定義中任意兩數、（），恒有，則稱是下凸函數.

（1）證明：函數是下凸函數；

（2）判斷是不是下凸函數，并說明理由；

（3）若是定義在上的下凸函數，常數，滿足：，，且，求證：，并求在上的解析式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2） 不是;理由見解析; （3）證明見解析;

【解析】

（1）根據定義,代入不等式作差證明不等式成立,即可證明函數是下凸函數.

（2）利用特殊值法, 令代入后檢驗不等式左右的大小,即可判斷不等式是否成立.

（3）根據極限定義,可求得當時的極限值;結合不等式,即可求得的值.進而利用賦值法求得上的解析式.

（1）證明:對任意實數、（）,

有

因為,實數、（）

所以

即

所以函數是下凸函數

（2）不是下凸函數

理由如下:

令

則不等式左邊

不等式右邊

因為,

所以,即

即

所以

與定義矛盾

所以不是下凸函數

（3）證明:因為是定義在上的下凸函數,常數,滿足：,,且

所以當時,

而對于任意,

所以

而當時,由 可得

綜上可知,即

得證.

根據下凸函數滿足,

令

代入可得

而

所以，

又因為,

所以當時