Question

【題目】如圖，在等腰梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為（），試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）在等腰梯形中由已知求出，根據余弦定理求出，再由勾股定理可證，結合已知平面平面，即可證明結論；

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，得到坐標，求出平面的法向量，是平面的一個法向量，利用空間向量面面角公式，求出的關于的關系式，由的取值范圍，即可求出結論.

（1）在梯形中，∵，

，，∴，

∴，

∴，∴.

又平面平面，

平面平面，

平面，

∴平面

（2）由（1）知，可分別以，，所在的直線為軸，

軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

令，則，

，，，

∴，.

設為平面的法向量，

由，得，

取，則為平面的一個法向量，

是平面的一個法向量，

∴.

∵，∴當時，有最小值，

當時，有最大值，∴.

又∵

∴