Question

【題目】已知非空集合滿足.若存在非負(fù)整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，均有，則稱集合具有性質(zhì).記具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為.

（1）求的值；

（2）求的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）因?yàn)?/span>，所以，對(duì)應(yīng)的分別為，故．（2）通過研究相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系，得遞推關(guān)系，進(jìn)而可求通項(xiàng)：設(shè)當(dāng)時(shí)，具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，關(guān)鍵計(jì)算關(guān)于的表達(dá)式，① 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，；② 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，最后根據(jù)累加法解得

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，具有性質(zhì)，

對(duì)應(yīng)的分別為，故．

（2）可知當(dāng)時(shí)，具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為，

則當(dāng)時(shí)，，

其中表達(dá)也具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)，

下面計(jì)算關(guān)于的表達(dá)式，

此時(shí)應(yīng)有，即，故對(duì)分奇偶討論，

① 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，故應(yīng)該有，

則對(duì)每一個(gè)，和必然屬于集合，且和，…，

和共有組數(shù)，每一組數(shù)中的兩個(gè)數(shù)必然同時(shí)屬于或不屬于集合，

故對(duì)每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的具有性質(zhì)的集合的個(gè)數(shù)為

，

所以，

② 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，故應(yīng)該有，

同理，

綜上，可得又，

由累加法解得

即