Question

（2009•濱州一模）已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為k_n=

1

xn+2

的直線交曲線C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），點(diǎn)列{A_n}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中x₁=

11

7

．
（I）求x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（II）令b_n=

1

xn-2

+

1

3

，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（III）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析：（I）由題意可得kn=-

1

xnxn+1

，利用k_n=

1

xn+2

，即可得到x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（II）由b_n=

1

xn-2

+

1

3

，可得b_n+1=-2（

1

xn-2

+

1

3

），從而可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（III）c_n+1＞c_n成立等價(jià)于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立，即(-1)nλ＞-(

3

2

)n-1恒成立，對n討論，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：過C：xy=1上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線交C于另一點(diǎn)A_n+1，則k_n=-

1

xnxn+1

∵k_n=

1

xn+2

，∴-

1

xnxn+1

=

1

xn+2

∴x_nx_n+1=-x_n+2；
（II）證明：∵b_n=

1

xn-2

+

1

3

，∴b_n+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2（

1

xn-2

+

1

3

），
∵x₁=

11

7

，∴b₁=-2
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（III）解：由（II）知，bn=(-2)n，則c_n+1＞c_n成立等價(jià)于c_n+1-c_n=2×3ⁿ+3λ×（-2）ⁿ＞0恒成立
即(-1)nλ＞-(

3

2

)n-1恒成立
①n為奇數(shù)時，-λ＞-(

3

2

)n-1，∴λ＜(

3

2

)n-1，∴λ＜1；
②n為偶數(shù)時，λ＞-(

3

2

)n-1，∴λ＞-

3

2

∴-

3

2

＜λ＜1
∵λ為非零整數(shù)
∴λ=-1．
∴λ=-1，對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查恒成立問題，正確求通項(xiàng)是關(guān)鍵．