Question

（2009•濱州一模）已知、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對的角，向量

m

=(sinA，sinB)，

n

=（cosB，-cosA）且

m

•

n

=2C．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差數列，且

CA

•(

AB

-

AC

)=18，求邊c的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據

m

和

n

表示出據

m

•

n

求得

m

•

n

=sinC.進而根據已知可推斷出sinC=sin2C，進而根據二倍角公式求得cosC的值進而求得C
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差數列，可推斷出2sinC=sinA+sinB，進而利用正弦定理把角轉化為邊的問題，進而根據

CA

•(

AB

-

AC

)=18求得abcosC=18，最后由余弦定理求得C．

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=sinA•cosB+sinB•cosA=sin(A+B)
在△ABC中，由于sin（A+B）=sinC，∴

m

•

n

=sinC.
又∵

m

•

n

=sin2C，∴sin2C=sinC，2sinCcosC=sinC
又sinC≠0，所以cosC=

1

2

，而0＜C＜π，因此C=

π

3

．
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差數列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b．
∵

CA

•(

AB

-

AC

)=18，∴

CA

•

CB

=18，
即abcosC=18，由（Ⅰ）知cosC=

1

2

，所以ab=36．
由余弦弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，
∴c²=36，
∴c=6．

點評：本題主要考查了余弦余弦定理，平面向量積的運算．考查了學生綜合分析問題和運算能力．