Question

【題目】已知函數f（x）=|2x-1|+|x+m|．

（l）當m=l時，解不等式f（x）≥3；

（2）證明：對任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤-1或x≥1}；（2）見解析

【解析】

（1）根據絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）根據絕對值三角不等式放縮論證.

（1）當m=1時，f（x）=|2x-1|+|x+1|，

①當x≤-1時，f（x）=-3x≥3，解得x≤-1，

②當-1＜x＜時，f（x）=-x+2≥3，解得x≤-1，與-1＜x＜矛盾，舍去，

③當x≥時，f（x）=3x≥3，解得x≥1，

綜上，不等式f（x）＜3的解集為{x|x≤-1或x≥1}；

（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1|

=|2m+1|=|（m+1）+m|≥|m+1|-|m|，

∴對任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．