Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右頂點為，，上、下頂點為，，記四邊形的內切圓為.

（1）求圓的標準方程；

（2）已知圓的一條不與坐標軸平行的切線交橢圓于P，M兩點.

（i）求證：；

（ii）試探究是否為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）是定值.

【解析】

（1）由已知可得：直線的方程為：，利用四邊形的內切圓為可求得內切圓的半徑，問題得解。

（2）（i）設切線，聯立直線方程與橢圓方程可得：，即可求得，所以，問題得證。

（ii）①當直線的斜率不存在時，，②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，聯立直線方程與橢圓方程可得：，即可求得：，同理可得：，問題得解。

（1）因為，分別為橢圓的右頂點和上頂點，則，坐標分別為，可得直線的方程為：

則原點O到直線的距離為，則圓的半徑，

故圓的標準方程為.

（2）（i）可設切線，

將直線的方程代入橢圓可得，由韋達定理得：

則，

又與圓相切，可知原點O到的距離，整理得，

則，所以，故.

（ii）由知，

①當直線的斜率不存在時，顯然，此時；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為：

代入橢圓方程可得，則，

故，

同理，

則.

綜上可知：為定值.