Question

【題目】已知橢圓：的離心率，短軸的一個端點到焦點的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2），是橢圓上的兩點，線段的中點在直線上，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用短軸的一個端點到焦點的距離可得，結(jié)合離心率可得方程；

（2）聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求AB的中點，進而可得斜率的范圍.

解：（1）由已知得橢圓的離心率為，短軸的一個端點到焦點的距離為，

解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的中點在直線上，符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，點 ，

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立并化簡，得，

由韋達(dá)定理得，，

，化簡得.

由線段的中點在直線上，得，

故，即，即，

代入，得，

解得或.

因此，直線的斜率的取值范圍是.