Question

【題目】已知函數有兩個不同的極值點x1，x2，且x1＜x2．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）求證：x1x2＜a2．

Answer 1

【答案】（1）（e，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）先求導數，再根據導函數有兩個不同的零點，確定實數a所需滿足的條件，解得結果，（2）先根據極值點解得a，再代入化簡不等式x1x2＜a2，設，構造一元函數，利用導數研究函數單調性，最后構造單調性證明不等式.

（1）∵函數，∴x＞0，f′（x）=x-alnx，

∵函數有兩個不同的極值點x1，x2，且x1＜x2．

∴f′（x）=x-alnx=0有兩個不等根，

令g（x）=x-alnx，則=，（x＞0），

①當a≤0時，得g′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴g（x）在（0，+∞）上不可能有兩個零點．

②當a＞0時，由g′（x）＞0，解得x＞a，由g′（x）＜0，解得0＜x＜a，

則g（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，

要使函數g（x）有兩個零點，則g（a）=a-alna＜0，

解得a＞e，∴實數a的取值范圍是（e，+∞）．

（2）由x1，x2是g（x）=x-alnx=0的兩個根，

則，兩式相減，得a（lnx2-lnx1）=x2-x1），

即a=，即證x1x2＜，

即證=，

由x1＜x2，得=t＞1，只需證ln2t-t-，

設g（t）=ln2t-t-，則g′（t）==，

令h（t）=2lnt-t+，∴h′（t）==-（）2＜0，

∴h（t）在（1，+∞）上單調遞減，∴h（t）＜h（1）=0，

∴g′（t）＜0，即g（t）在（1，+∞）上是減函數，∴g（t）＜g（1）=0，

即ln2t＜t-2+在（1，+∞）上恒成立，∴x1x2＜a2．