Question

【題目】已知函數的圖象在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求實數、的值；

（Ⅱ）求函數在區間上的最大值；

（Ⅲ）曲線上存在兩點、，使得是以坐標原點為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在軸上，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時在[-1，2]上的最大值為2，

當時在[-1，2]上的最大值為；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（1）利用導數幾何意義： 可列等量關系.當時， 所以，又所以因此 （2）求分段函數最值，先分別討論各區間函數最值，再比較大小，確定最值．當時，由得或，列表分析得的最大值為,當時， ，需根據c的值確定函數最值，當時， 恒成立， ，當時， 的最大值為，比較與2的大小得：當時， 在上的最大值為，當時， 在上的最大值為（3）利用坐標探求等量關系，確定坐標所在位置是解題關鍵．根據條件， 的橫坐標互為相反數，不妨設， ， .若，則，有

，無解，若，則.有， 取值范圍是

（1）當時，

所以，又

所以因此

（2）當時，由得或，列表得：

x	-1	(-1,0)	0				1
		-	0	+	0	-
	2	↘		↗		↘	0

所以當時， 的最大值為，

當時， ，

當時， 恒成立， ，

此時在上的最大值為；

當時， 在上單調遞增，且.

令，則，所以當時，

在上的最大值為；

當時， 在上的最大值為.

綜上可知，當時， 在上的最大值為；

當時， 在上的最大值為.

⑶，根據條件， 的橫坐標互為相反數，不妨設， ， .

若，則，

由是直角得， ，即，

即.此時無解；

若，則．由于的中點在軸上，且，所以點不可能在軸上，即．同理有，即， ．由于函數的值域是，實數的取值范圍是即為所求.