Question

【題目】已知圓F1:(x+1)2+y2=16,定點(diǎn)F2(1,0),A是圓F1上的一動(dòng)點(diǎn),線段F2A的垂直平分線交半徑F1A于P點(diǎn).

(1)求P點(diǎn)的軌跡C的方程；

(2)四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線C上,且對(duì)角線EG,FH過原點(diǎn)O,

若kEGkFH=-,求證：四邊形EFGH的面積為定值,并求出此定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（I）利用橢圓的定義，即可求 點(diǎn)的軌跡 的方程；（II）不妨設(shè)點(diǎn) 位于 軸的上方，在直線 的斜率存在，設(shè)的方程為 ，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式及三角形面積公式求四邊形出面積用 表示，化簡(jiǎn)消去即可證明結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>在線段的中垂線上,所以.

所以,

所以軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,且,所以,

故軌跡的方程.

（Ⅱ）證明：不妨設(shè)點(diǎn)E、H位于x軸的上方,則直線EH的斜率存在,設(shè)EH的方程為, .

聯(lián)立,得,

則. ①

由,

得. ②

由①、②,得. ③

設(shè)原點(diǎn)到直線EH的距離為,

,

④

由③、④,得,故四邊形EFGH的面積為定值,且定值為.