Question

【題目】已知函數f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）
（1）當x∈[2，4]時，求該函數的值域；
（2）若f（x）＞mlog2x對于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）

= （log2x）2﹣ log2x+1，2≤x≤4

令t=log2x，則y= t2﹣ t+1= （t﹣ ）2﹣ ，

∵2≤x≤4，

∴1≤t≤2．

當t= 時，ymin=﹣ ，當t=1，或t=2時，ymax=0．

∴函數的值域是[﹣ ，0]

（2）解：令t=log2x，得 t2﹣ t+1＞mt對于2≤t≤4恒成立．

∴m＜ t+ ﹣ 對于t∈[2，4]恒成立，

設g（t）= t+ ﹣ ，t∈[2，4]，

∴g（t）= t+ ﹣ = （t+ ）﹣ ，

∵g（t）= t+ ﹣ 在[2，4]上為增函數，

∴當t=2時，g（t）min=g（2）=0，

∴m＜0．

【解析】（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣ ）= （log2x）2﹣ log2x+1，2≤x≤4，令t=log2x，則y= t2﹣ t+1= （t﹣ ）2﹣ ，由此能求出函數的值域．（2）令t=log2x，得 t2﹣ t+1＞mt對于2≤t≤4恒成立，從而得到m＜ t+ ﹣ 對于t∈[2，4]恒成立，構造函數g（t）= t+ ﹣ ，t∈[2，4]，能求出m的取值范圍．