Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD及其三視圖如下圖所示，E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ）求四棱錐P﹣ABCD的體積；
（Ⅱ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？試證明你的結論；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D﹣AE﹣B的大小．

Answer 1

【答案】解：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，
ABCD為正方形，且PC=2，AB=BC=1，
∴ ．
（II）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
證明如下：
∵PC⊥面ABCD，BD面ABCD，∴PC⊥BD
而BD⊥AC，AC∩AE=A，∴BD⊥面ACE，
而AE面ACE，
∴BD⊥AE．
（III）連接AC，交BD于O．
由對稱性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，
設θ為二面角O﹣AE﹣B的平面角．
注意到B在面ACE上的射影為O，
，
，
∴ ，
∴θ=60°∴二面角D﹣AE﹣B是120°．

【解析】（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，ABCD為正方形，且PC=2，AB=BC=1，由此能求出四棱錐P﹣ABCD的體積．（II）不論點E在何位置，都有BD⊥AE．由已知得PC⊥BD，從而BD⊥面ACE，由此能證明BD⊥AE．（III）連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D﹣AE﹣B是二面角O﹣AE﹣B的2倍，設θ為二面角O﹣AE﹣B的平面角．注意到B在面ACE上的射影為O，由 ，能求出二面角D﹣AE﹣B的大小．