Question

【題目】如圖，在直二面角中，四邊形是邊長為2的正方形，，為上的點，且平面.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】試題分析：（1）由平面可證，由二面角為直二面角及是正方形可證，再由線面垂直判定定理得平面，即可得證；（2）取的中點，連接，，由四邊形為正方形可證，，即可得為二面角的平面角，根據題設條件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等體積法，由即可得點到平面的距離.

試題解析：（1）∵平面，∴.

又∵二面角為直二面角，且，

∴平面，

∴，∴平面，

∴.　

（2）取的中點，連接，.

∵四邊形為正方形，∴，∴，

即為二面角的平面角，又，

∴，由（1）知，且，

∴，∴，由，解得，

∴，即

∴，即二面角的余弦值為.　

（3）取的中點，連接，

∵，二面角為直二面角，

∴平面，且.

∵，，∴平面，∴，

∴，又，

由，得，∴.