Question

【題目】如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．

（1）求漁船甲的速度；
（2）求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC

=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．

解得BC=28．

所以漁船甲的速度為 海里/小時．

答：漁船甲的速度為14海里/小時

（2）解：方法1：在△ABC中，因為AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，

由正弦定理，得 ．

即 ．

答：sinα的值為 ．

方法2：在△ABC中，因為AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，

由余弦定理，得 ．

即 ．

因為α為銳角，所以 = ．

答：sinα的值為

【解析】（1）由題意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出漁船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后轉化為sinα．