Question

【題目】設函數的定義域均為，且是奇函數，是偶函數，，其中為自然對數的底數.

（1）求的解析式，并證明：當時，；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據奇函數，偶函數即可得到，聯立，即可解出時，容易得出，而由基本不等式即可求出；（2）代入原不等式便可得出，可令，得到，容易得出，進而得出，根據基本不等式即可求出，這樣即可得出的取值范圍.

試題解析：（1），.

證明：當時，，，故

又由基本不等式，有，即-

（2）由條件知m（ex－e－x＋1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立．

令t＝ex（x＞0），則t＞1，

因為在R上為增函數，所以，

所以m≤－＝－對任意t＞1成立．

因為,

所以，=－

當且僅當t＝2,即x＝ln2時等號成立．

因此實數m的取值范圍是 .