Question

【題目】已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為 ，且圖象上一個最高點為M（ ，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位長度，然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，試寫出函數y=g（x）的解析式．
（3）在（2）的條件下，若總存在x0∈[﹣ ， ]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求實數m的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ T= ，

∴T= =π，解得ω=2；

又函數f（x）=Asin（2x+φ）圖象上一個最高點為M（ ，3），

∴A=3，2× +φ=2kπ+ （k∈Z），

∴φ=2kπ+ （k∈Z），又0＜φ＜ ，

∴φ= ，

∴f（x）=3sin（2x+ ）

（2）解：把函數y=f（x）的圖象向左平移 個單位長度，得到f（x+ ）=3sin[2（x+ ）+ ]=3cos2x；

然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）=3cosx的圖象，

即g（x）=3cosx

（3）解：∵x0∈[﹣ ， ]，∴﹣ ≤cosx0≤1，﹣ ≤3cosx0≤3，

依題意知，log3m≥（﹣ ）+2= ，

∴m≥ ，即實數m的最小值為

【解析】（1）依題意知 T= ，由此可求得ω=2；又函數f（x）=Asin（2x+φ）圖象上一個最高點為M（ ，3），可知A=3，2× +φ=2kπ+ （k∈Z），結合0＜φ＜ 可求得φ，從而可得f（x）的解析式；（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得函數y=g（x）的解析式；（3）x0∈[﹣ ， ]﹣ ≤cosx0≤1，﹣ ≤3cosx0≤3，依題意知，log3m≥（﹣ ）+2= ，從而可求得實數m的最小值．
【考點精析】利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．