Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為的正方形，為等腰三角形，，平面平面，動點在棱上，無論點運動到何處時，總有.

（1）試判斷平面與平面是否垂直，并證明你的結論；

（2）若點為中點，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）存在，證明見解析；（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性質先證明平面，從而平面，由此能證明平面平面；（2）到平面的距離等于到平面距離的一半，而到平面的距離等于到平面距離，可得，利用，即可得結果.

（1）平面與平面垂直，

證明如下：

四邊形是邊長為2的正方形，所以，

因為平面平面，

平面，

動點在棱上，無論點運動到何處時，總有，

又平面，

平面平面平面.

（2）點為中點，

到平面的距離等于到平面距離的一半，

而到平面的距離等于到平面距離，

由平面，可得 ，

由平面，可得 ，

所以平面，

為等腰直角三角形，

到平面的距離等于，

，

三棱錐的體積

.