Question

【題目】設，橢圓：與雙曲線：的焦點相同．

（1）求橢圓與雙曲線的方程；

（2）過雙曲線的右頂點作兩條斜率分別為，的直線，，分別交雙曲線于點，（，不同于右頂點），若，求證：直線的傾斜角為定值，并求出此定值；

（3）設點，若對于直線，橢圓上總存在不同的兩點與關于直線對稱，且，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為，雙曲線的方程為；（2）詳見解析.（3）見解析。

【解析】

（1）利用橢圓和雙曲線的性質，結合焦點相同，建立方程，計算m值，即可。（2）設出直線方程，代入雙曲線方程，建立等式，計算P的坐標，同理得到Q的坐標，結合，可以得到，發現直線PQ與x軸平行，故證之。（3）結合題意，設出直線AB的方程，代入橢圓解析式中，建立方程，計算出AB的中點M坐標，而M又在直線l上，代入，結合題目所提供的不等式，建立不等關系，即可得到b的范圍。

解：（1）由題意，，所以．

所以橢圓的方程為，雙曲線的方程為．

（2）雙曲線的右頂點為，因為，不妨設，則，

設直線的方程為，

由,得，

則,()，.

同理，，，

又，所以，.

因為，所以直線與軸平行，即為定值，傾斜角為0． ，

（3）設，，直線的方程為，

由整理得，

△，故．

，，

設的中點為，則，，

又在直線 上，所以，．

因為，，

所以

，所以．又，。

即.