Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=

Sn

．已知數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
（1）求數列{b_n}的通項公式．
（2）求數列{a_n}的通項公式．
（3）令c_n=

4

(an+1)(an+1+1)

，求數列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把首項和公差代入等差數列的通項公式求出b_n；
（2）根據（1）和條件求出S_n，再由a_n與S_n的關系式，一定驗證n=1時是否成立，再求出a_n；
（3）把（2）求出a_n代入cn=

4

(an+1)(an+1+1)

化簡再進行裂項，由裂項相消法求數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）由已知得數列{b_n}是等差數列且b₁=1，d=1，
∴b_n=b₁+（n-1）•d=1+（n-1）×1=n
∴數列{b_n}的通項公式為b_n=n（n∈N^*）．…（2分）
（2）由b_n=

Sn

得n=

Sn

，∴Sn=n2，
∴當n=1時，a1=S1=12=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1①
當a₁=1時，也滿足①式．
則數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）．…（8分）
（3）由（2）得，a_n=2n-1，
cn=

4

(an+1)(an+1+1)

=

4

[(2n-1)+1]×[2(n+1)-1+1]

=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

(n+1)

∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

1

-

1

n+1

=

n

n+1

點評：本題考查了等差數列的通項公式，數列的a_n與S_n的關系式應用，以及裂項相消法求數列{c_n}的前n項和，考查了轉化思想、運算能力．