Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3，AA₁=4，E為AA₁的中點．
（Ⅰ）證明：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求點D₁到面BDE的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連結AC，BD交于點F，連結EF，由已知條件得A₁C∥EF，由此能證明A₁C∥平面BDE．       
（Ⅱ）以A為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點D₁到面BDE的距離．

解答： 解：（Ⅰ）連結AC，BD交于點F，連結EF，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=3，
∴BD中點是F，
∵E是AA₁中點，∴A₁C∥EF，
∵A₁C不包含于平面BDE，EF?平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE．       
（Ⅱ）以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵AB=AD=3，AA₁=4，E為AA₁的中點．
∴B（3，0，0），D（0，3，0），E（0，0，2），D₁（0，3，4），
∴

BD

=（-3，3，0），

BE

=(-3，0，2)，
設平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BD =-3x+3y=0 n • BE =-3x+2z=0

，取x=1，得

n

=（2，2，3），
∵

BD1

=（-3，3，4），
∴點D₁到面BDE的距離d=

| BD1 • n |

| n |

=

|-6+6+12|

4+4+9

=

12

17

17

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．