Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．
（Ⅰ）求證：函數f（x）在點（0，f（0））處的切線與f（x）總有兩個不同的公共點；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（-1，1）上有且僅有一個極值點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：根據函數在一點的導數與過這一點切線斜率的關系，求出切線的斜率，再求出f（0），從而求出切線方程．切線與函數曲線有幾個公共點，就看切線方程與函數f（x）形成的方程組有幾個解，所以連立方程組便能證明（1）．
對于第二問，首先要求令導函數等于0的解有兩個不同解，并要求只有一個根在（-1，1）上，從而求出a的范圍．

解答： 解：
（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+4，
∴f′（0）=4，且f（0）=b；
∴在點（0，f（0））處的切線方程為：y=4x+b；
解

y=4x+b y= 1 3 x3+ax2+4x+b

得：x=0，或x=-3a；
∵a≠0，方程組有兩個不同解，
∴切線與f（x）總有兩個不同的公共點．

（Ⅱ）
法一：f′（x）=x²+2ax+4=（x+a）²+4-a²，
根據題意可知：4-a²＜0        ①
方程x²+2ax+4=0有兩個實數根，x=-a-

a2-4

，或x=-a+

a2-4

；
∴

-1＜-a- a2-4 ＜1 -a+ a2-4 ＞1

          ②
或

-1＜-a+ a2-4 ＜1 -a- a2-4 ＜-1

          ③
∴解①得：a＜-2，或a＞2；
當a＜-2，或a＞2時②的解是：a＜-

5

2

；
當a＜-2，或a＞2時③的解是：a＞

5

2

．
∴a的取值范圍是：（-∞，-

5

2

）∪（

5

2

，+∞）．
法二：∵f（x）在區間（-1，1）上有且僅有一個極值點，
∴由二次函數圖象性質可得 f′（-1）f′（1）＜0
即（5-2a）（5+2a）＜0，
解得a＜-

5

2

或a＞

5

2

，
∴a的取值范圍是：（-∞，-

5

2

）∪（

5

2

，+∞）．

點評：要使切線與曲線有兩個不同公共點，只需連立形成方程組，判斷解的個數，有幾個解就有幾個公共點．而對于第二問，根據極點的定義，在極值點兩邊的導函數異號，所以f′（-1）f′（1）＜0，不等式的解便是a的取值范圍，所以可用這種方法來求a的范圍．