Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為棱CC₁的中點，則異面直線BD₁與AM所成角的余弦值為

3

9

．

Answer 1

分析：分別以

DA

，

DC

，

DD1

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，則異面直線BD₁與AM所成角的余弦值，轉化為求向量

BD1

與

AM

的夾角的余弦值，利用向量夾角公式即可求得，注意向量夾角與異面角間的關系．

解答：解：分別以

DA

，

DC

，

DD1

的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，
不妨設正方體的棱長為1，則A（1，0，0），B（1，1，0），M（0，1，

1

2

），D₁（0，0，1），
所以

BD1

=（-1，-1，1），

AM

=（-1，1，

1

2

），
則cos＜

BD1

，

AM

＞=

BD1 • AM

| BD1 || AM |

=

1-1+ 1 2

3 • 1+1+ 1 4

=

3

9

，即異面直線BD₁與AM所成角的余弦值為

3

9

，
故答案為：

3

9

．

點評：本題考查異面直線及其所成角的求解，考查向量運算，屬中檔題．