Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點
（1）若F為AA₁的中點，求證：EF∥面DD₁C₁C；
（2）若F為AA₁的中點，求二面角A-EC-D₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥面DD₁C₁C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與面DD₁C₁C內(nèi)一直線平行，連接A₁B，根據(jù)中位線定理可知EF∥A₁B，而A₁B∥D₁C則EF∥D₁C，滿足定理所需條件；
（2）設(shè)二面角A-EC-D₁的大小為θ，設(shè)正方體的棱長為2，求出梯形EFD₁C與梯形ADCE的面積，根據(jù)面積射影法求出二面角的平面角的余弦值即可．

解答：解：
（1）證明：連接A₁B；
∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA₁的中點，
∴EF∥A₁B （2分）
又A₁B∥D₁C∴EF∥D₁C
∴EF∥面DD₁C₁C
（2）設(shè)二面角A-EC-D₁的大小為θ，設(shè)正方體的棱長為2，
由（1）知F，D₁，C，E四點共面，且四邊形為等腰梯形，
又S梯形EFD1C=

1

2

×

3 2

2

×3

2

=

9

2

，S梯形ADCE=

1

2

×2×3=3
∴cosθ=

S梯形ADCE

S梯形EFD1C

=

3

9 2

=

2

3

∴二面角A-EC-D₁的余弦值為

2

3

．

點評：求二面角，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角，也可利用面積射影法求出二面角的平面角．