Question

【題目】已知橢圓C：(a>b>0)的左.右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．

(1) 求橢圓C的標準方程；

(2) 如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．

Answer 1

【答案】(1)＋＝1；(2) k＝

【解析】

(1)根據已知條件，建立方程組，求出a，b，即可得到橢圓的標準方程．

(2)設出直線l方程為y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線l方程與橢圓方程聯立，求出x1＋x2和x1x2，根據條件求出k1和k2，代入k1＝2k2化簡計算，得到關于k的方程，解方程求出k的值．

（1）因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.

又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.

所以橢圓的標準方程為＋＝1.

又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.

所以橢圓的標準方程為＋＝1.

（2）由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)．

聯立直線與橢圓的方程組，消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.

所以由根與系數關系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.

因為k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.

即＝，①

又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，

所以．②

將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.

所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.

解得k＝或k＝，又因為k>1，所以k＝.