Question

【題目】給定整數，數列、、、每項均為整數，在中去掉一項，并將剩下的數分成個數相同的兩組，其中一組數的和與另外一組數的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數列的特征值.

（Ⅰ）已知數列、、、、，寫出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）若，當，其中、且時，判斷與的大小關系，并說明理由；

（Ⅲ）已知數列的特征值為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；.的特征值為；（Ⅱ），理由見解析；（Ⅲ）最小值為.

【解析】

（Ⅰ）根據題中的定義可求出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）分、和、兩種情況討論，結合題中定義可證明出；

（Ⅲ）設，利用（Ⅱ）中的結論，結合數列的特征值為，可得出，并證明出，即可求出的最小值.

（Ⅰ）由題知：，，，

的特征值為；

（Ⅱ）.

理由如下：由于，可分下列兩種情況討論：

當、時，

根據定義可知：，

同理可得：.

所以，所以.

當、時，同理可得：

，

所以，所以.

綜上有：；

（Ⅲ）不妨設，

，

顯然，，

.

當且僅當時取等號；.

當且僅當時取等號；

由（Ⅱ）可知、的較小值為，

所以.

當且僅當時取等號，

此時數列為常數列，其特征值為，不符合題意，則必有

.

下證：若，，總有.

證明：

.

所以.

因此

.

當時，可取到最小值，符合題意.

所以的最小值為.