Question

【題目】隨著科學技術的飛速發展，網絡也已經逐漸融入了人們的日常生活，網購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優勢而深受廣大消費者認可.某網購公司統計了近五年在本公司網購的人數，得到如下的相關數據(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數)：

x	1	2	3	4	5
y(萬人)	20	50	100	150	180

（1）試根據表中的數據，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網購人數能超過300萬人；

（2）該公司為了吸引網購者，特別推出“玩網絡游戲，送免費購物券”活動，網購者可根據拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現奇數與偶數的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數列，并求網購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.

附：在線性回歸方程中，.

Answer 1

【答案】（1），預計到2022年該公司的網購人數能超過300萬人；

（2）約400元.

【解析】

（1）依題意，先求出，代入公式即可得到，，可得回歸方程為，令，．所以預計到2022年該公司的網購人數能超過300萬；

（2）遙控車移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.

①遙控車先到第格，又擲出偶數，其概率為

②遙控車先到第格，又擲出奇數，其概率為

所以，即可證得是等比數列，

利用累加法求出數列的通項公式，即可求得失敗和獲勝的概率，從而計算出期望.

解：（1）

故 從而

所以所求線性回歸方程為，

令，解得.

故預計到2022年該公司的網購人數能超過300萬人

（2）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲骰子出現奇數，遙控車移到第一格，其概率為,即.遙控車移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.

①遙控車先到第格，又擲出奇數，其概率為

②遙控車先到第格，又擲出偶數，其概率為

所以，

當時，數列是公比為的等比數列

以上各式相加，得

（），

獲勝的概率

失敗的概率

設參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額為元，或

X的期望

參與游戲一次的顧客獲得優惠券金額的期望值為，約400元.