Question

【題目】如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點，的最大值為，的最小值為，滿足.

（1）若線段垂直于軸時，，求橢圓的方程；

（2）設線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于，兩點，是坐標原點，記的面積為，的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依題意得，代入，結合，解方程組，可求得的值，即求得橢圓方程.（2）由（1）知，由此設出橢圓方程為，設出直線的方程并代入橢圓的方程，寫出韋達定理，并寫出點的坐標，利用求得點的橫坐標，列出面積的表達式并化簡，由此求得面積比的取值范圍.

解：（1）設，則橢圓性質得：

，，而，

有，即，，

又且，得，，

因此橢圓的方程為：.

（2）由（1）可知，，橢圓的方程為.

由題意知直線的斜率一定存在不為零，設直線的方程為，，，則由消去并整理得.

，，

.

，

，

.

由與相似得.

故的取值范圍為.