Question

【題目】設橢圓的右焦點為，過點作直線與橢圓交于，兩點，且坐標原點到直線的距離為1．

（1）當時，求直線的方程；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），或；（2）

【解析】

（1）首先設出直線方程，根據題意得到，即，直線的方程為，與橢圓聯立求出點坐標，再直線的方程即可.

（2）首先設直線的方程為，，，根據原點到直線的距離為1得到，再聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理即可得到面積的表達式，求其最大值即可.

（1）橢圓的右焦點為，則，，

當時，設直線的方程為，

因為坐標原點到直線的距離為1，

所以，解得，直線的方程為，

，解得，所以點或，

所以直線的方程為，或，

即，或；

（2）設點的直線的方程為，，.

由坐標原點到直線的距離為1，

所以，解得.

由，消可得，

，，

所以，

因為

所以，

當或時，，

令，，

則，當，時，取“”號.

當時，，

令，，

則，

綜上所述，當時，面積的最大值為．