Question

【題目】設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)，令，得，可得（1），分類討論，①當(dāng)，無(wú)極值，不合題意，舍去；②當(dāng)，，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，符合題意．可得的范圍;（2）不妨設(shè)，由，可得，可求．即可得證．

（1），

設(shè)，則，

令，得：，可得：，，遞增；，，遞減．

（1），

①當(dāng)，即時(shí)，，即，所以，遞減，無(wú)極值，不合題意，舍去；

②當(dāng)，即時(shí)，則（1），

，，

（1），

在有唯一零點(diǎn)，

又，且

設(shè)（a），（a），

（a）在上遞增，

（a）．

（1），

在有唯一零點(diǎn)，

從而，，，遞減；，，，遞增；，，，遞減；

所以，，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，符合題意．

綜上，，

（2）證明：不妨設(shè)，，

由，有，

．得證．