Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）求證：當時，；

（Ⅱ）若存在，使，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）所證明不等式轉化為，設， 利用導數判斷函數的單調性，并利用最值證明；

（Ⅱ）首先判斷函數的單調性，再分和兩種情況求的取值范圍，當時，成立，求，當時，根據（1）的結論證明時，，當時，設，利用導數證明，綜上證明過程求的取值范圍.

解：（Ⅰ）解：的定義域為，

，即

設，

，故在為增函數，

當時，，得證.

（Ⅱ），故的減區間為，增區間為，

對于，

（1）當時，，需要，；

（2）當時，先證若，有，

（ⅰ）若，，設，，

是減函數，，

，

（ⅱ）若，設，

是增函數，，，

故有，使，在減，在增，

，，

時，，得

由（ⅰ）（ⅱ）得，當時，

此時由于，時，，故，滿足題意.

綜上可得，的取值范圍是.