【題目】已知橢圓的長軸長為6，離心率為 
，F2為橢圓的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）點M在圓x2+y2=8上，且M在第一象限，過M作圓x2+y2=8的切線交橢圓于P，Q兩點，判斷△PF2Q的周長是否為定值并說明理由．
【答案】解：（I）根據已知，設橢圓的標準方程為 
， ∴2a=6，a=3， 
，c=1；
b2=a2﹣c2=8，
（II）△PF2Q的周長是定值，
設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），則 
，
，
∵0＜x1＜3，
∴ 
，
在圓中，M是切點，
∴ 
，
∴ 
，
同理|QF2|+|QM|=3，
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周長是定值6
【解析】（Ⅰ）由題意可知：2a=6， 
，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2 ， 求得b，寫出橢圓方程；（Ⅱ）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），分別求出|F2P|，|F2Q|，結合相切的條件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2 ， 可得 
，同理|QF2|+|QM|=3，即可證明；
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【題目】已知定義在區間[﹣3，3]上的單調函數f（x）滿足：對任意的x∈[﹣3，3]，都有f（f（x）﹣2x）=6，則在[﹣3，3]上隨機取一個實數x，使得f（x）的值不小于4的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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【題目】設橢圓C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 點A（{2， 
）在橢圓上，且滿足 
=0． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）動直線l：y=kx+m與橢圓C交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，是否存在圓x2+y2=r2使得l恰好是該圓的切線，若存在，求出r；若不存在，說明理由．
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【題目】已知D= 
，給出下列四個命題： P1：（x，y）∈D，x+y+1≥0；
P2：（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；
P3：（x，y）∈D， 
≤﹣4；
P4：（x，y）∈D，x2+y2≤2．
其中真命題的是（ ）
A.P1 ， P2
B.P2 ， P3
C.P2 ， P4
D.P3 ， P4
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【題目】已知集合
且
，設
．
若
2，3，4，5，
和
2，3，4，5，
，分別求S的值；
若集合A中所有元素之和為55，求S的最小值；
若集合A中所有元素之和為103，求S的最小值．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 
+ 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，C為橢圓上位于第一象限內的一點．
（1）若點C的坐標為（2， 
），求a，b的值；
（2）設A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且 
= 
，求直線AB的斜率．
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【題目】隨著生活水平和消費觀念的轉變，“三品一標”（無公害農產品、綠色食品、有機食品和農產品地理標志）已成為不少人的選擇，為此某品牌植物油企業成立了有機食品快速檢測室，假設該品牌植物油每瓶含有機物A的概率為p（0＜p＜1），需要通過抽取少量油樣化驗來確定該瓶油中是否含有有機物A，若化驗結果呈陽性則含A，呈陰性則不含A．若多瓶該種植物油檢驗時，可逐個抽樣化驗，也可將若干瓶植物油的油樣混在一起化驗，僅當至少有一瓶油含有有機物A時混合油樣呈陽性，若混合油樣呈陽性，則該組植物油必須每瓶重新抽取油樣并全部逐個化驗．
（1）若 
，試求3瓶該植物油混合油樣呈陽性的概率；
（2）現有4瓶該種植物油需要化驗，有以下兩種方案： 方案一：均分成兩組化驗；方案二：混在一起化驗；請問哪種方案更適合（即化驗次數的期望值更小），并說明理由．
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【題目】已知函數f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a＜0時，求函數f（x）在 
上的最小值；
（3）記函數y=f（x）的圖象為曲線C，設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線C上的不同兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂直交曲線C于點N，判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由．
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