Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓 + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，C為橢圓上位于第一象限內的一點．

（1）若點C的坐標為（2， ），求a，b的值；
（2）設A為橢圓的左頂點，B為橢圓上一點，且 = ，求直線AB的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知：橢圓的離心率e= = = ，則 = ，①

由點C在橢圓上，將（2， ）代入橢圓方程， ，②

解得：a2=9，b2=5，

∴a=3，b= ，

（2）

解：方法一：由（1）可知： = ，則橢圓方程：5x2+9y2=5a2，

設直線OC的方程為x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），

，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，

∴y2= ，由y2＞0，則y2= ，

由 = ，則AB∥OC，設直線AB的方程為x=my﹣a，

則 ，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，

由y=0，或y1= ，

由 = ，則（x1+a，y1）=（ x2， y2），

則y2=2y1，

則 =2× ，（m＞0），

解得：m= ，

則直線AB的斜率 = ；

方法二：由（1）可知：橢圓方程5x2+9y2=5a2，則A（﹣a，0），

B（x1，y1），C（x2，y2），

由 = ，則（x1+a，y1）=（ x2，vy2），則y2=2y1，

由B，C在橢圓上，

∴ ，解得： ，

則直線直線AB的斜率k= = ．

直線AB的斜率

【解析】（1）利用拋物線的離心率求得 = ，將（2， ）代入橢圓方程，即可求得a和b的值；（2）方法二：設直線OC的斜率，代入橢圓方程，求得C的縱坐標，則直線直線AB的方程為x=my﹣a，代入橢圓方程，求得B的縱坐標，由 = ，則直線直線AB的斜率k= = ；方法二：由 = ，y2=2y1 ， 將B和C代入橢圓方程，即可求得C點坐標，利用直線的離心率公式即可求得直線AB的斜率．